MISE 的估计

上一节我们讨论了单点处的误差,一个自然的想法就是考察整体的误差,即

方差项的积分

沿用上一文的结论,我们已经有

因此

偏差项的积分

首先我们需要知道泰勒展开的积分余项形式

于是

其中

现在我们使用 Minkowski inequality 来控制积分的上届,使用的形式为

不熟悉的读者可能觉得这一形式有些怪异,其实其本质就是三角不等式,也就是说和的范数小于范数的和,即。其中。因此不等式右边是范数的和(积分)的平方,而左边是和(积分)的范数的平方。

先使用一次Minkowski inequality

现在考察的值。再次使用Minkowski inequality

可以看到,我们需要满足一定的性质才能控制这一上届。我们先定义 Nikol’ski class 为所有满足下列性质的函数的集合

  • 存在,其中

还有一个定义 Sobolev class为所有满足下列性质的函数的集合

  • 1次可微
  • 绝对连续

可以证明

在这里,我们先使用,并加上概率密度的约束,即

此时,我们可以控制得

整理过后可以得到

如同上文一样,我们得到了的收敛速度为

为整数,读者也可以使用获得一个证明,也就是假设即可。此时整个积分同样被控制住。